1. क्या शून्य एक परिमेय संख्या है? क्या इसे आप p/q के रूप में लिख सकते है, जहाँ p और q पूर्णांक है और q ≠ 0 है?
उत्तर :- हाँ, शून्य एक परिमेय संख्या है | शून्य (0) को p/q के रूप में भी लिख सकते है और इसे 0∕1, 0∕-1, 0∕2, 0∕-2 के रूप भी लिख सकते है, जहाँ की p = 0 और q एक अशून्य पूर्णांक है | अत 0 एक परिमेय संख्या है |
2. 3 और 4 के बीच में छ परिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिये |
उत्तर :- पहला तरीका
हम जानते है की 3 और 4 संख्याओं के बीच में कई अपरिमेय संख्याएँ अपरिमित रूप से हो सकती है | उन्नको ज्ञात करने का एक तरीका 3=21/6+1 और 4=28/6+1 है | तब प्रशानुसार वांछित छ परिमेय संखाएँ 3 और 4 के बीच इस प्रकार से होंगी
22/7, 23/7, 23/7, 24/7, 25/7, 26/7, 27/7
दूसरा तरीका
अगर r और s दो परिमेय संखाएं है तो r और s के बीच एक परिमेय संख्या होगी r+s/2 | तो इस प्रकार 3 और 4 के बीच में एक परिमेय संख्या 3+4/2 = 7/2 होगी |
अब 3 और 7/2 के बीच की एक परिमेय संख्या होगी
= 1/2(3+/2)
= 13/4
7/2 और 4 के बीच की एक परिमेय संख्या
= 1/2(7/2+4)
= 15/4
स्पष्ट रूप में, 3 > 13/4 > 7/2 > 15 > 4
आगे, 3 और 13/4 के बीच में एक परिमेय संख्या होगी
= 1/2 (3+13/4)
= 1/2 (12+13/4)
= 25/8
फिर, 15/4 और 4 के बीच की एक परिमेय संख्या होगी
= 1/2 (15/4+4)
= 31/8
पुनः 31/8 और 4 के बीच की परिमे संख्या होगी
= 1/2 (31/4)
= 63/16
स्पष्टत:, 3 > 25/8 > 13/4 > 7/2 > 15/4 > 3/8 > 63/16 > 4
अत: 3 और 4 बीच में छ: परिमेय संख्याएँ
25/8, 13/4, 7/2, 15/4, 31/8 और 63/16 है
3. 3/5 और 4/5 के बीच पाँच परिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए |
उत्तर :- मान की x = 3/5, y = 4/5 तो, स्पष्ट है की x > y
अत: x और y के बीच एक परिमेय संख्या होगी
= 1/2 (x+y)
= 1/2 (3/5+4/5)
= 7/10
अब, 3/5 और 7/10 के बीच परिमेय संख्या होगी
= 1/2 (3/5+7/10)
= 13/20
आगे, 7/10 और 4/5 के बीच की परिमेय संख्या
= 1/2 (7/10+4/5)
= 15/20
= 3/4
स्पस्टत: 3/5 < 13/20 < 7/10 < 3/4 < 4/5
आगे, 3/5 और 4/5 के बीच की एक परिमेय संख्या
= 1/2 (3/5+13/20)
= 25/40
= 5/8
पुन: 3/5 और 4/5 के बीच की एक परिमेय संख्या
= 1/2 (3/4+4/5)
= 31/40
स्पस्टत: 3/5 < 5/8 < 13/20 < 7/10 < 3/4 < 31/40 < 4/5
अत: 3/5 और 4/5 के बीच पाँच परिमेय संख्याएँ है
5/8, 13/20, 7/10, 3/4 और 31/40
4. नीचे दिए गए कथन सत्य है या असत्य ? कारण के साथ अपने उत्तर दीजिए :
(i) प्रत्येक प्राकृत संख्या एक पूर्ण संख्या होती है ?
उत्तर :- सत्य है क्योंकि पूर्ण संह्याओं का समूह सभी प्राकृत संख्याओं को समाहित किए होता है |
(ii) प्रत्येक पूर्णांक एक पूर्ण संख्या होती है ?
उत्तर :- असत्य ही क्योंकि -1, -2 आदि पूर्ण संख्याएँ नहीं है |
(iii) प्रत्येक परिमेय संख्या एक पूर्ण संख्या होती है ?
उत्तर :- असत्य है क्योंकि 2/3 एक परिमेय संख्या है किन्तु यह पूर्ण संख्या नहीं है |
